Grafos en la Naturaleza

La teor√≠a de grafos como definici√≥n nos dice que un grafo es un par (G=(V,E)), de v√©rtices y de aristas o ejes donde V y E son conjuntos. Dicho as√≠ es abstracto pero tiene una aplicaci√≥n en nuestro mundo, en la vida cotidiana, como cuando necesitamos llegar a un lugar en transporte p√ļblico, necesitar√≠amos un plano del metro, tren o de autob√ļs, donde las paradas son los v√©rtices y la trayectoria las aristas; en la tecnolog√≠a como en la inform√°tica, se pueden crear algoritmos como el problema del cartero, como hacer la ruta m√°s corta de manera que cada casa es un v√©rtice, el trayecto es una arista y no se puede pasar dos veces por el mismo punto y en aeron√°utica tenemos las rutas de los aviones, hay muchas m√°s aplicaciones pero no son objeto de este post de divulgaci√≥n.

Al observar la Naturaleza si miramos el cielo nocturno tenemos las constelaciones, si miramos con visión global desde satélite, podremos ver la ruta de migraciones por ejemplo de las mariposas monarcas y tenemos otros grafos naturales como la danza de las abejas. Todos estos fenómenos naturales vamos a tratarlos de manera amena que se pueda entender.

Las constelaciones que vemos desde nuestro cielo cuando baja la luz del sol, se pueden reducir cada una de ellas a un conjunto, donde las estrellas son los vértices y al conectarlas entre ellas dibujaríamos unas líneas rectas que llamaremos aristas.

Hay que se√Īalar qu√© aunque tenemos doce signos del zodiaco en realidad podemos ver trece constelaciones desde nuestro cielo, la n√ļmero trece se llama Ofiuco, y el tiempo que aparece el sol en cada constelaci√≥n es variable, no siempre veremos las trece el tiempo que nos han hecho creer, cambiar√° a lo largo de los a√Īos porque el primer zodiaco fue creado hace 2.500 a√Īos, en la antigua Babilonia, y en esa √©poca el Sol pasaba en fechas diferentes por las constelaciones, cuatro semanas antes; adem√°s el tiempo en el que permanece el Sol en las constelaciones es irregular, pasa una semana solo en Escorpio y en Vigo un mes y medio, por ejemplo, por lo que la astrolog√≠a no tiene ning√ļn fundamento cient√≠fico. El orden correcto de estas constelaciones son:

Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, libra, Escorpio, Ofiuco, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis.

Como por el imaginario colectivo conocemos las otras constelaciones correspondientes al zodiaco, solo se explicará la constelación de Ofiuco o encantador de serpientes. Es antigua y la representan con la forma de un hombre con una serpiente enroscada en su cuerpo, esta es la constelación de la serpiente, el sol se encuentre en ella entre el 30 de noviembre y el 18 de diciembre.[1]

Si nos centramos en el grafo de las constelación Ofiuco tendríamos la figura 1.

Otro asunto es el de las migraciones de aves, de insectos y de cetáceos, las cuales vienen dadas porque se persigue el clima, debe ser más cálido para poder conseguir alimento y bienestar. Nos centraremos en el ciclo migratorio de las ballenas, son largos viajes que pueden ser de hasta 25.000 km, es el caso de las ballenas grises, y de 18.000 km en el caso de las ballenas jorobadas. En los meses de enero a febrero se desplaza hacía zonas de apareamiento y cría en latitudes bajas, y de junio a julio a zonas ricas en alimentos en latitudes altas.[1] Las orcas para mudar su piel necesitan de zonas más cálidas.

Otras de las grandes migraciones son de la especie mariposa monarca, que se encuentra en el Caribe, en las Islas Canarias, Azores y Madeira, y en Europa Occidental, incluso ha sido introducida en Nueva Zelanda y Australia, pero es solo la que habita en el Norte de Am√©rica la que hace grandes migraciones llegando a recorrer hasta 5.000 km [3]. Cada oto√Īo migran de forma masiva desde el sur de Canad√° y el norte de los EEUU hac√≠a M√©xico pasando por California [4], es el mismo camino que han realizado sus ancestros durante siglos y en ocasiones pueden llegar a volver al mismo √°rbol de partida. ¬ŅY esta migraci√≥n c√≥mo se representar√≠a en un grafo?, aqu√≠ tendr√≠amos otro tipo de grafo que ser√≠a el concepto de √°rbol, que podemos ver en la figura 2.

Las abejas exploradoras Apis mellifera, conocidas vulgalmente como la abeja de la miel, realizan dos tipos de danza, ‚Äúla danza en c√≠rculo‚ÄĚ y ‚Äúla danza en ocho‚ÄĚ, y hay una subespecie italiana llamada Apis mellifera lingustica que ha desarrollado un tercer tipo de danza, ‚Äúla danza en hoz‚ÄĚ.

Vamos a definir y analizar las tres diferentes danzas y su geometría.

En primer lugar tenemos “la danza en círculo“, la abeja exploradora comunica a los demás que la fuente de alimento está en un radio menor igual a 10 metros. La intensidad de la danza en la relación con la velocidad y la duración les dice a las demás como es de abundante la fuente de alimentación, además la abeja deja el olor de la flor con la que ha estado en contacto.

La segunda danza llamada ‚Äúen hoz‚ÄĚ indica distancias entre 10-100 metros de la fuente de alimentaci√≥n.

La tercera es ‚Äúla danza en ocho‚ÄĚ, que nos dice que la fuente est√° situada en un radio mayor a 100 metros. Aqu√≠ el eje central, la l√≠nea sinuosa seg√ļn el √°ngulo respecto al sol nos dice la posici√≥n aproximada del origen del alimento.

Además de estas danzas hay un par que no va a ser objeto de este estudio, que son la danza en espiral y la danza de la limpieza, la primera la realizan las abejas para avisar que el néctar es tóxico y se ha distribuido por la colmena, mientras que en la segunda mueven su cuerpo de izquierda a derecha levantando y bajando sus patas anteriores. No las consideraremos al no poderlas consideras como grafo por no tener información necesaria para estudiarlas. [5]

En la representaci√≥n gr√°fica los v√©rtices son los puntos de inflexi√≥n de la trayectoria, es decir, las aristas o ejes. Como la trayectoria tiene una direcci√≥n √ļnica se les llamar√°n d√≠grafos, donde la direcci√≥n de la trayectoria se indicar√° con una flecha, llamando origen al primer v√©rtice de la arista y fin al segundo. [6]

A partir de estos tres grafos asociados a la danza de las abejas (fig.4), podemos determinar el camino que es √ļnico y se cuenta contando los v√©rtices, es el camino real que recorre las abejas para realizarlos:

Camino de la danza en círculo:

v1, v1 v2, v2, v2 v3,v3, v3 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v6, v6, v6 v7, v7, v7 v8,v8, v8 v9, v9, v9 v10, v10, v10 v11, v11, v11 v5, v5, v5 v12, v12, v12 v13, v13

Como podemos ver este camino no es cerrado porque empieza en el vértice primero y acaba en el decimotercero.

Para el camino, que es √ļnico, de la danza en hoz tendremos:

v1, v1 v2, v2, v2 v3,v3, v3 v1, v1, v1 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v1, v1

Este camino es cerrado porqué como podemos ver empieza en el vértice primero y acaba en el mismo vértice.

Y para el camino de la danza en ocho:

v1, v1 v2, v2, v2 v3, v3, v3 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v6, v6, v6 v7, v7, v7 v8, v8, v8 v9, v9, v9 v10, v9 v11, v10, v10 v1, v11, v11 v1, v1

Como el anterior camino este también es cerrado.

Y para qué nos sirve esto en la vida real?, como hemos dicho antes en el ejemplo del problema del cartero, para encontrar el camino óptimo, el más eficiente, el más corto y que no pasa dos veces por el mismo punto.

Solo con observar a la Naturaleza podemos aprender matemáticas, no las que vimos en la escuela, que es solo aritmética, geometría o álgebra, sino las verdaderas matemáticas, las de un lenguaje universal que sirve para entender a la naturaleza y por extrapolación al universo.

Referencias
[1] El Pa√≠s. Ofiuco, el ‚Äėsigno‚Äô del zodiaco que descol¬∑loca a los astr√≥logos. (2016). Disponible en l√≠nea:

https://elpais.com/elpais/2015/12/14/ciencia/1450110558_090265.html

[2] Díaz San Andrés, A.: 6.4. Migraciones. Biogeografia.net. (2019). Disponible en línia:

https://biogeografia.net/distribucion04.html

[3] National Geographic. Mariposa Monarca. (2010). Disponible en línia:

https://www.nationalgeographic.es/animales/mariposa-monarca

[4] Scientific American (Espa√Īol). La mariposa monarca lleva la migraci√≥n en los genes. (2014). Disponible en l√≠nia:

https://www.scientificamerican.com/espanol/noticias/la-mariposa-monarca-lleva-la-migracion-en-los-genes/

[5] Ace√Īa Palomar, J.M.: El sistema de comunicaci√≥n de las abejas.Did√°ctica. Lengua Y Literatura, 2; 19. (1990). https : ==dx:doi:org=10:5209=DIDA,https :

==revistas:ucm:es=index:php=DIDA=article=view=DIDA9090110019A.

[6] Bujalance, E., Bujalance, J.A., Costa,A.F.,Martínez,E.: Elementos de

Matematica Discreta. UNED. Sanz y Torres, Madrid (2005).