El presente artículo tiene como finalidad exponer un método simple para resolver ecuaciones de segundo grado. La idea nace de una experiencia de enseñanza – aprendizaje en una Preparatoria en la ciudad de Fresnillo, Zacatecas, México; en donde se identifican dificultades al abordar los diferentes métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado. En ese sentido; se explora una alternativa para facilitar el desarrollo de tal contenido matemático.
« El estudio y, en general, la búsqueda de la verdad y la belleza conforman un área donde podemos seguir siendo niños toda la vida»
[ Albert Einstein, Físico Matemático Alemán ]
INTRODUCCIÓN
Como Maestros de Matemáticas en el nivel de bachillerato; seguramente alguna vez hemos escuchado a nuestros estudiantes expresar puntos de vista desfavorables en cuanto a los métodos de resolución para las ecuaciones de segundo grado (conocidas también como ecuaciones cuadráticas). En algunos casos, los alumnos afirman que los procedimientos son confusos, y hasta cierto punto complejos y engorrosos.
En ese contexto; se identifican las dificultades que tienen los estudiantes al resolver este tipo de ecuaciones al trabajar con algún método u otro; ya sea por fórmula general, factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto o el procedimiento más reciente dado a conocer en el año 2019 a través del repositorio arxiv.org: el método Po Shen Loh. Algunos comentarios que hemos identificado en los estudiantes en relación a esta empresa son: «Es muy aparatosa la fórmula general», «Es muy engorroso el procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto», «Me confunden los signos», «El procedimiento es muy largo y tedioso», «No me genera motivación resolver ecuaciones que no se puedan factorizar», entre muchas otras opiniones, por lo que se reconoce una problemática en el sector de la enseñaza – aprendizaje de las Matemáticas.
UN POCO DE HISTORIA SOBRE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Según comenta Loh (2019), la fórmula cuadrática fue un triunfo notable de los primeros matemáticos, marcando la culminación de una larga búsqueda desde hace aproximadamente 4 mil años; en relación a un método para resolver ecuaciones de segundo grado en una historia que se remonta a la civilización babilónica.
En ese sentido Vosahlo (2018) expresa, que los babilonios conocían la representación gráfica del cuadrado de un binomio, y que es probable que esta civilización haya conocido también el método de completar el cuadrado y así resolver este tipo de ecuaciones, puesto que es posible deducir la fórmula a partir de una interpretación gráfica.
Los aportes de los Griegos, Árabes e Hindús, así como del Matemático Francés René Descartes, en este campo, son fundamentales. Se tiene referencia que en la obra de «Elementos» de Euclides (300 a. c. ), hay interpretaciones gráficas de un binomio y algunas resoluciones geométricas de ecuaciones de segundo grado. Por otro lado, en la obra «Aritmética» del Matemático árabe Al- Juarismi (780 – 850 a.c.); se evidencian formas para resolver ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas, así como en los trabajos del Matemático Hindú Bhaskara (1114 – 1185). Finalmente en la obra «Geometría» del Matemático Francés René Descartes(1596 – 1650); se encuentran soluciones gráficas para ciertas ecuaciones de segundo grado.
En el 2019, el Matemático Po- Shen Lo desarrolla una alternativa a la derivación, el algoritmo y la exposición habitual de la solución de ecuaciones de segundo grado, que cree que es «práctica para la integración en todos los planes de estudio convencionales».
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Hernández (2017) afirma que una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la incógnita es 2. Las ecuaciones de segundo grado se pueden escribir de la forma:
ax² + bx + c = 0
Donde a, b, c son Números Reales, con a ≠ 0.
A continuación se muestran algunos ejemplos de este tipo de ecuaciones.
3x² – 7x + 1 = 0
x² – 9x – 11 = 0
x² + 6x + 9 = 0
Las ecuaciones de segundo grado presentan dos soluciones, y dentro de las metodologías que existen para resolverlas tenemos:
Fórmula General
Factorización
Completar Trinomio Cuadrado Perfecto
Método Po – Shen Loh
FÓRMULA PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Existe una fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado completas (aquellas que tienen valores distintos de cero para a, b y c ).
Se identifican los coeficientes a, b, c de la ecuación de segundo grado (ax² + bx + c = 0 ) y luego se sustituyen en la fórmula de la figura I para encontrar dos soluciones.
FIGURA I. Fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado atribuida al Matemático Hindú Bhaskara (1114 – 1185).
EL MÉTODO PROPUESTO
A continuación se expone un método fácil de memorizar, que en tres sencillos pasos, será capaz de resolver ecuaciones de segundo grado atendiendo a las dificultades identificadas que implica la enseñanza de este concepto y como un alternativa de solución. El procedimiento u algoritmo se basa en la fórmula general, y se propone como una estrategia didáctica que pueda ser implementada en el aula de clases para promover el aprendizaje del tema de ecuaciones de segundo grado y sus métodos de resolución para el nivel de bachillerato o secundaria.
PASOS
I) Determinar los coeficientes a, b, c de la ecuación de segundo grado, tal como se aprecia en la figura II.
FIGURA II. Coeficientes de la ecuación de segundo grado: 2x² + 5x – 3 = 0 .
II) Calcular cinco sencillos parámetros representados por las variables (Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄, Δ₅) en base a los coeficientes a, b, c de la ecuación de segundo grado, tal como se aprecia en la figura III.
FIGURA III. Cálculo de los parámetros Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄, Δ₅.
III) Sustituir los parámetros Δ₁, Δ₃, y Δ₅ en las fórmulas x₁ y x₂ para así obtener las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, tal como se aprecia en la figura IV.
FIGURA IV. Sustitución de los parámetros Δ₁, Δ₃, y Δ₅ en las expresiones x₁ y x₂.
¿PORQUÉ FUNCIONA EL MÉTODO?
El método se basa en la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado de la figura I, y utiliza el principio de «divide y vencerás». Lo que se hace es descomponer en pequeñas partes los elementos que conforman la fórmula cuadrática para después ser abordados de manera independiente. Esto permite que el cálculo de cada parámetro sea más sencillo, y se propicien menos errores durante la simplificación. Se integra el uso de variables auxiliares representadas por la letra griega delta para acondicionar un método que sea fácil de memorizar.
UN ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN
Sean a,b,c con a ≠ 0, y Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄, Δ₅ :Números Reales.
Sustituir los parámetros: Δ₁ = – b, Δ₂ = b², Δ₃ = 2a, Δ₄ = -4ac, Δ₅ =√(Δ₂ + Δ₄) en las expresiones:
x₁ = (Δ₁-Δ₅ ) / Δ₃ y en x₂ = (Δ₁ – Δ₅) /Δ₃.
Reducir hasta obtener la fórmula de la figura I.
CONCLUSIONES y RECOMENDACIONES
Actualmente el método se viene implementando en una Preparatoria de la Ciudad de Fresnillo, Zacatecas, México, con el firme objetivo de evaluar su funcionalidad.
La propuesta de este artículo nos permite concluir que los Maestros deben reflexionar sobre sus prácticas, y no dejar a un lado la exploración de nuevas alternativas de solución ante las dificultades que presentan los estudiantes en relación a la asimilación de contenidos matemáticos.
Es fundamental enriquecer el quehacer pedagógico mediante estrategias didácticas significativas para el logro de los objetivos propuestos.
A manera de recomendación, el presente método puede ser usado como parte de una estrategia en el aula para promover el aprendizaje y el entendimiento del tema de ecuaciones de segundo grado y sus métodos de resolución para el nivel de bachillerato y secundaria.
El Científico en el mundo es un explorador, y en algún lugar del vasto universo le aguarda algo por descubrir, como revela el mismo Carl Sagan: En algún lugar algo increíble está esperando ser descubierto» [6].
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Martin, L. (2018). Las diez frases reales de Einstein que han pasado a la historia. El Español: Ciencia. Descargado de: https://www.elespanol.com/ciencia/20181018/frases-reales-albert-einstein-pasado-historia/345966567_0.htm
[2] Loh, P. (2019). A Simple Proof of the Quadratic Formula. Arxiv.org. Descargado de: https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf
[3] Vosahlo, G. (2009). Algunos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado completas, desde los babilonios hasta Descartes. UNT, Argentina. Descargado de: http://funes.uniandes.edu.co/17700/1/Vosahlo2009Algunos.pdf
[4] Aznar, E. (2007). Biografía de Bhaskara. Universidad de Granada, España. Descargado de: https://www.ugr.es/~eaznar/bhaskara.htm
[5] Hernández, R. (2021). Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas: Ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales. España. Descargado de: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/3A/05_Ec2grado_3A.pdf
[6] Camacho, J.,Camacho, O. (2020). Dos científicos bajo un fresno: un viaje a la ciencia en doce escritos. Google Play. Recuperado de: https://books.google.com.mx/books?id=EKzpDwAAQBAJ&hl=es&source=gbs_navlinks_s
[7] Google Imágenes (2021).Recuperado de: https://www.google.com.mx/imghp?hl=es
